Курсовая работа Двухполупериодные выпрямители Electronics Workbench Особенности микроволнового диапазона Статическое и дифференциальное сопротивления Туннельный диод Объемное отрицательное сопротивление

Выполнение курсовой, контрольной работы по физике, электротехнике

Электродинамические потенциалы гармонического поля.

Уравнения Гельмгольца.

 Практически все задачи электродинамики разделяют на 2 вида:

1. прямые задачи, в которых по заданному распределению сторонних источников необходимо определить соответствующее распределение электромагнитного поля.

2. обратные задачи, в которых по заданному распределению электромагнитного поля надо определить соответствующее распределение сторонних источников.

В этом разделе рассмотрим основные методы решения прямых задач электродинамики применительно для гармонического ЭМ поля и однородных линейных изотропных сред.

 Относительно мгновенных значений векторов поля задачи решают очень редко, из-за сложности их определения. Обычно задачи решают для гармонических полей с использованием метода комплексных амплитуд. При решении любых электродинамических задач очень редко используют непосредственно уравнения Максвелла. Обычно уравнения Максвелла стараются свести к известным формам дифференциальных уравнений. Условия для касательных составляющих вектора E и D На границе раздела сред, отличающихся eа, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок Dl, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок Dl включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный вектор касательный к Dl и единичный вектор перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Неразветвленная цепь синусоидального тока Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников : первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме

 Рассмотрим гармонический электромагнитный процесс. Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:

 (1)

 (2)

Возьмем ротор от правой и левой части соотношения (1). Получим:

 (3)

Воспользуемся известным тождеством: 

Из 4-ого уравнения Максвелла:  следует, что:

 (4)

Подставим (4) и (2) в соотношение (3) и получим:  или

 (5)

В результате проведенных преобразований мы получили неоднородное дифференциальное уравнение, которое в математической физике называется неоднородным уравнением Гельмгольца. Это уравнение описывает волновые процессы. Векторное дифференциальное уравнение (5) можно записать в виде трех уравнений проекций:

 (6)

Аналогичные уравнения можно получить и для вектора напряженности поля.

 (7)

Меняя везде знаки, получим:

 (8)

 При анализе сред, в которых отсутствуют сторонние источники, неоднородные уравнения (5), (8) преобразуются в однородные:

 (9)

Соотношения (5), (8), (9) называются уравнениями Гельмгольца относительно векторов поля.

Электродинамические потенциалы для комплексных амплитуд.

 Даже уравнения Максвелла, преобразованные к уравнениям Гельмгольца в форме (5), (8), используются при решении электродинамических задач из-за сложной правой части. При решении задач для векторов поля уравнения используются только для полей без сторонних источников. Обычно, если рассматриваемые задачи со сторонними источниками, используют искусственный прием - вводят формальные поля, которые описываются некоторыми функциями, называемыми электродинамическими потенциалами. Для них решают электродинамическую задачу, а соответствующие вектора электромагнитного поля находят, используя уравнения связи между электромагнитными потенциалами и векторами поля.

Получим выражения для электродинамических потенциалов. Для этого запишем уравнения Максвелла:

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

Существует следующее векторное тождество:

 и  (5)

Векторную функцию  называют векторным электрическим потенциалом. Соотношение (5) при известном  однозначно определяет вектор . Обратное определение неоднозначно, т.е. при известном векторном поле  соотношение (5) определяет неоднозначно. Известно, что . Поэтому, если ввести  и , то соотношение (5) не изменится. Поэтому соотношение (5) определяет  с точностью до градиента произвольной функции.

Подставим (5) в (2). Получим:  или  (6)

Воспользуемся вновь тождеством:  и .

При этом:  (7)

 Скалярную функцию  называют скалярным электрическим потенциалом. Знак " - " поставлен, чтобы в случае электростатических полей мы получили соотношение, связывающее напряженность электрического поля и электрический потенциал. С помощью соотношений (5) и (7) определили векторы магнитного и электрического полей через два формальных поля: поля векторного электрического потенциала и поля скалярного электрического потенциала. Получим уравнения для их определения. Подставим соотношения (5) и (7) в первое уравнение Максвелла:

Помножим на , раскроем и раскроем скобки.

Формальные поля векторного и электрического потенциалов были введены без ограничений, т.е. это совершенно произвольные функции. Единственное ограничение — это то, что векторное поле электрического потенциала определяется  точностью до градиента произвольной функции. Поэтому мы вправе ввести какие-то ограничения. Пусть таким ограничением будет:

 (8)

Равенство (8) называется условием калибровки.

  А теперь:  (9)

Аналогичным образом может быть получено выражение для определения скалярного электрического потенциала. Для этого нужно воспользоваться третьим уравнением Максвелла. Вместо  запишем соотношение (7):

Вместо  подставим то, чему она равна, используя условие калибровки:

окончательно получаем:  (10)

Таким образом, мы получили 2 уравнения: векторное дифференциальное и скалярное дифференциальное с простой правой частью. Из наших рассуждений мы можем исключить , т.е. можем свести к нахождению только . Для этого в соотношении (7) исключим , используя соотношение (8). Из соотношения (8) следует:

 (11)

Решение неоднородных уравнений Гельмгольца

Плоские электромагнитные волны. Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.

Плоские волны в однородной изотропной среде с проводимостью отличной от нуля. В среде с проводимостью отличной от нуля энергия электромагнитной волны частично расходуется на возбуждение и поддержание токов проводимости, т.е. волна в процессе распространения затухает. В общем случае наряду с джоулевыми потерями в среде могут присутствовать также диэлектрические и магнитные потери

Распространение волн в реальных диэлектриках

Характерные параметры для проводящих сред


Свободные носители зарядов в полупроводниках