Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Элементы линейной алгебры Дифференциальное исчисление Приложения дифференциального исчисления

Алгебра и аналитическая геометрия

Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

 и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел. Пусть

  и . Метод Гаусса. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее: .

Положим . Тогда . Пусть  и . Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим . Пусть ,  – старший коэффициент , и т.д. … Так как степени многочленов  убывают, то получим :  и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда , , т.е. получено требуемое представление (1). Примеры решения типовых задач Разложение в ряд Фурье непериодических функций Курс практики по математике

Докажем единственность.  Пусть  и . Тогда . Если , то (по лемме 1) , a противоречие .■

Определение 2. Если  и , то  называется остатком при делении  на .

Пример. .

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если  и  – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов  а значит и коэффициенты  и  – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение, очевидно, неверно.

Делители многочленов. Наибольший общий делитель.

Определение 3. Пусть . Если   , то говорят, что  делится на  или  делит , и пишут . Если  , то  означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен  называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

 Доказательство следует из равенства .

2) ,   .

 Доказательство. Так как ; так как

 . Тогда имеем

 .

3) ,   .

4)   .

 Доказательство.  . Тогда

 ; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

 .

6) .

 Доказательство следует из равенства .

7)   имеем .

8) .

  Действительно, .

9) .

  Доказательство.

   и . Ho .

  и .

10) .

  Доказательство.

 Если   имеем .

Если   и по свойству 1) имеем (в силу свойства 9) .

  Следует из свойства 9.

11) Если , то  имеем .

Определение 4. Многочлен  называется общим делителем  и , если  и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов   и  называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

Точные определения.Пусть  – поле. Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из   называется бесконечная последовательность , в которой все элементы, кроме конечного числа, равны нулю.

Лемма 2. Если НОД двух многочленов  и  существует, то он определен с точностью до множителя . Доказательство. Пусть  и  – два НОД для  и   и  (по свойству 10) , для  и .

Взаимно простые многочлены. Определение 5. Многочлены  называют взаимно простыми, если их общие делители только многочлены нулевой степени.

Замечание1. Если с – корень кратности k для , то  и  т.е. . Наоборот, если  и  то с –корень кратности k многочлена

Определение 8. Построенный многочлен  называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Вопрос № 5: Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления:

Свойства обратной матрицы.

Алгоритм вычисления.

Решение простейших линейных матричных уравнений.

Существование обратной матрицы:

Если для матрицы А существует обратная, то

Доказательство:

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, или особенной.

Вырожденная матрица не имеет обратной.

Вычисление обратной матрицы:

Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, элементы которой вычисляются по формуле:

Доказательство:

Проверим справедливость определения квадратной матрицы:

Эта теорема даёт возможность получения обратной матрицы при помощи присоединённой:

Обратная матрица равна произведению присоединённой на величину, обратную определителю матрицы А.

Свойства операции обращения:

(АВ)-1=В-1А-1

(аА)-1=а-1А-1

(А-1)-1=А

(АТ)-1=(А-1)Т

Решение простейших линейных матричных уравнений:

– Не решаемо.


Миноры и алгебраические дополнения