Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Элементы линейной алгебры Дифференциальное исчисление Приложения дифференциального исчисления

Алгебра и аналитическая геометрия

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

  (13)

Пусть . Пусть  – решение этой системы, т.е. Поверхностные интегралы  2 рода Математика вычисление интеграла

  (14)

Вычитая из (13) выражение (14), получаем

.

Т.о.,  является решением соответствующего однородного уравнения.

Пусть   – фундаментальная система решений однородного уравнения. Тогда любое  может быть представлено в виде:

.

Тогда получаем

 (15)

Если  – частное решение уравнения (13), то формулы (15) дают общее решение. Из (15) следует теорема.

Теорема 7. Общее решение СЛНУ (13) представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1. Разность двух произвольных решений СЛНУ является решением соответствующей СЛОУ.

Следствие 2. Сумма любого частного решения СЛНУ с любым частным решением соответствующей СЛОУ дает частное решение СЛНУ.

Замечание. В формуле (7) вектор  – частное решение СЛНУ, а вектора  – частные решения СЛОУ.

Пространство геометрических векторов как пример линейного пространства

Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Def 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается  или .

Def 2. Длиной  направленного отрезка  называется длина отрезка АВ.


На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце.

Def 3. Направленные отрезки  и  называются сонаправленными, (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки  и  называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки  и  называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается  и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Def 4. Два направленных отрезка  и  считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1о) отрезок  эквивалентен сам себе;

2о) если  эквивалентен , то  эквивалентен ;

3о) если  эквивалентен  и  – эквивалентен , то  эквивалентен .

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Def 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

В школе вектор – это параллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто будем писать: «вектор ».

Длина .

Def 6 Вектор a такой, что  называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором . Его длина равна нулю, а направление не определено.

Def 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Def 8. Три и более векторов называются комплонарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной. Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим   и . Тогда  есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Проекции вектора на ось Пусть в пространстве задана некоторая прямая  и единичный вектор . Def 1. Осью  будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором  (направляющий вектор оси).

Скалярное произведение векторов. Def 1. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства векторного произведения. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю Û вектора-сомножители коллинеарны.

Смешанное произведение векторов Пусть даны три вектора , , . Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Двойное векторное произведение Def 1. Двойное векторное произведение векторов , ,  это произведение вида . Выразим двойное векторное произведение через скалярное.


Миноры и алгебраические дополнения