Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Элементы линейной алгебры Дифференциальное исчисление Приложения дифференциального исчисления

Алгебра и аналитическая геометрия

Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Def 5. Совокупность векторов  называют базисом в , если

1о. вектора  – линейно независимы;

2о. для  найдутся  . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами  относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   . ч.т.д.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов  и  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении  на , все координаты вектора умножаются на это число. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0. Геометрические приложения криволинейных интегралов

Доказательство. Пусть  - базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису  что теорема доказана.

Примеры. 1о. Базис в  - любое ненулевое число.

2о. . Базис образуют матрицы , , …,  с одним единичным элементом.

3о.   – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

4о.   – см. выше.

4о. Размерность линейного пространства.

Def 6. Линейное пространство  называется n-мерным, если

1о. В нем  n линейно независимых векторов.

2о.   векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью  и обозначается .

Def 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем  любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если  – линейное пространство размерности n, то  линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть  – система n линейно независимых векторов из . Если  - любой вектор из , то по Def 6, вектора  – линейно зависимы, т.е.

и среди  есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что   (т. к. иначе  – линейно зависимы)

, т.е.

 – линейная комбинация   т. к.  – произвольный, то  –базис.

Теорема  5. Если  имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть  – базис в . Достаточно показать, что  векторов  линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

,

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов  эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из  строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры. 1о. . 2о. . 3о. . 4о. . 5о. .

5о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Def 6. Два произвольных линейных пространства V и  над одним и тем же полем   называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам  отвечают соответственные вектора , то вектору  отвечает вектор , а вектору  при  отвечает вектор .

Свойства изоморфных пространств. 10. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент  и наоборот.Док-во: Если .

Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Сумма и пересечение подпространств 5о. Прямая сумма подпространств.

Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда  и , т.е.  – невырожденная матрица.

Построение решений СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения.

Рассмотрим матрицу . Элементарными преобразованиями строк ее можно привести к ступенчатой матрице : :

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Напомним, что матрица  называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. .

Лемма 1. Система однородных уравнений всегда совместна. Really  – ее решение. Это решение называется тривиальным. Ненулевые решения называются нетривиальными.

Вопрос № 24: Три типа взаимного расположения прямых в пространстве:

Три типа расположения двух прямых в пространстве:

Параллельные прямые.

Пересекающиеся.

Скрещивающиеся прямые.

Расстояния:

Между точкой и прямой.

Между параллельными прямыми в пространстве.

Между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Параллельные прямые в пространстве:

Пересекающиеся прямые в пространстве:

Скрещивающиеся прямые:


Миноры и алгебраические дополнения