Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Элементы линейной алгебры Дифференциальное исчисление Приложения дифференциального исчисления

Алгебра и аналитическая геометрия

Поле рациональных дробей

Эвристические соображения.

В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где  − многочлены. Мы их будем рассматривать как формальные выражения. При этом используем обычные операции :

, где ;

.

В этом случае две дроби определяют одну и ту же рациональную функцию.

2о. Точные определения.

Пусть – поле,   – кольцо многочленов над .

Определение 1.  паре многочленов , где  поставим в соответствие символ , называемый рациональной дробью с числителем  и знаменателем .

Замечание. Здесь используется термин «символ», т.к. мы не делим многочлены, хотя и иногда их можно разделить без остатка.

Определение 2. Рациональные дроби  и  называются равными, если в кольце имеется равенство

.

(1)

Свойства рациональных дробей.

1.   дробь равна самой себе.

2. Свойство транзитивности: если  и   .

 Действительно, ,   . Далее после деления на  получим доказываемое равенство, т.к.  – кольцо без делителей нуля.

Объединим все равные между собой дроби в один класс. Тогда множество всех рациональных дробей разбивается на непересекающиеся классы равных между собой дробей. На множестве этих классов мы хотим определить операции так, чтобы оно было полем. Для этого надо проверять, что замена представителя класса другим не изменяет результат с точки зрения принадлежности классу.

Лемма 1. Рациональная дробь превращается в равную дробь, если её знаменатель и числитель умножаются или сокращаются на один и тот же многочлен, отличенный от нуля.

Доказательство. Действительно, так как из  и можно разделитьна , то получаем, что операция не выводит из класса.■

Сложение рациональных дробей определим как

\

(2)

Далее, если

,  | умножая первое на , а второе на  и складывая |    

Т.о. если складывать  дробь одного класса с  дробью другого класса, то результаты всегда лежат в одном и том же третьем классе. Этот класс называется суммой классов.

 Коммутативность  из (2), а ассоциативность доказывается прямыми вычислениями.

  Дроби вида  равны между собой и образуют нулевой класс. Это нуль относительно сложения. Действительно, . Из равенства  противоположного класса.

 Умножение определим формулой

(3)

Пусть ,    можно говорить о произведении классов равных между собой дробей.

 Коммутативность и ассоциативность  из (3), а дистрибутивность доказывается прямыми вычислениями.

 Элементы вида  обозначают единицу.

 Если  нулевому классу, т.е.  определён класс  - обратный класс к . Т.о. классы равных между собой рациональных дробей с коэффициентами из P образуют поле, обозначаемое P(x) – поле рациональных дробей.

 Многочлены – подмножество   − кольцо.

Замечание. Аналогично над кольцом Z.

Определение 3. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Частные случаи матриц. Если , то матрица называется квадратной.

Блочные матрицы. Пусть матрица  при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы.

Группа перестановок. Знак перестановки.

Определители Определение. Пусть   − коммутативное кольцо с единицей.

Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели:

Теорема Кронекера-Капели.

Общий метод решения систем из т алгебраических уравнений с п неизвестными.

Условие совместности

Рассмотрим произвольную систему из т уравнений с п неизвестными:
, тогда ,

Теорема Кронекера-Капели:

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.

Доказательство:

Необходимое условие:

Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов равны.

Следовательно, столбец свободных членов линейно зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Достаточное условие:

Применим правило Крамара к произвольной системе.
Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу.

Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными.

Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора.

Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система следующего вида:
, тогда у этой укороченной системы определитель . Число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило Крамара.
,, таким образом правило Крамара позволяет выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая свободным переменным значения: , где С – произвольное действительное число. . Отсюда следует:
– множество решений системы уравнений содержит n-r произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим.

Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение.

Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.


Миноры и алгебраические дополнения