Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Элементы линейной алгебры Дифференциальное исчисление Приложения дифференциального исчисления

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия

Комплексные числа

Определение. Алгебраическая форма записи.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары   действительных чисел и , если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

Два числа  и  равны тогда и только тогда, когда , , т.е.

Û, .

(1)

2°. Суммой комплексных чисел  и  называется число, обозначаемое  и равное , т.е.

+=.

(2)

3°. Произведением комплексных чисел  и  называется число, обозначаемое  и равное , т.е.

=.

(3)

Множество комплексных чисел обозначается С. Парабола Курс лекций по математике

 Формулы (2),(3) для чисел вида принимают вид

,

откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида совпадают со сложением и умножением для вещественных чисел Þ комплексное число вида  отождествляется с вещественным числом .

Комплексное число  называется мнимой единицей и обозначается , т.е. Тогда из (3) Þ .

Из (2),(3) Þ что   и значит

(4)

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:

 

 .

Комплексное число обозначают ,  – вещественная часть,  – мнимая часть,  – чисто мнимое число. Обозначение , .

Определение 2. Комплексное число  называется сопряженным с комплексным числом .

Свойства комплексного сопряжения.

1°. .

2°. .

3°. Если , то .

4°. .

5°.  – вещественное число.

Доказательство проводится непосредственным вычислением.

Определение 3. Число  называется модулем комплексного числа  и обозначается .

Очевидно, что , причем   . Также очевидны формулы:  и .

2°. Свойства операций сложения и умножения.

1°. Коммутативность: , .

2°. Ассоциативность:, .

3°. Дистрибутивность: .

Доказательство 1° - 3° проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.

4°. , .

5°.  , C ! , удовлетворяющее уравнению . Такое

.

6°. ,C, 0, ! : . Такое  находится умножением уравнения на     .

Пример. Представим комплексное число в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Корни n-ой степени из комплексного числа. Рассмотрим уравнение

С, N.

(9)

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если  выполняется .

Закон сокращения в группе. Если . Доказательство следует из свойства 2°.Важный пример (группа перестановок степени ).

Поле, свойства поля. Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .

Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы:

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы.

Определение.

Свойства.

Общее условие равенства нулю определителя.

– линейная комбинация столбцов  того же порядка, если его можно представить в виде взвешенной суммы.
– коэффициент линейных комбинаций, или весовой коэффициент.

Пусть

Система и п столбцов одного и того же порядка называется линейно зависимой, если существуют такие , что линейная комбинация равна , следовательно хотя бы один из этих столбцов является , либо может быть выражен в виде линейной комбинации других столбцов.

Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые коэффициенты – нули.

Свойства:

Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов приводит к ассиметричной линейной зависимости.

Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт независимую подсистему.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя матрицы:

Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно зависимы.


Миноры и алгебраические дополнения