ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство Е3;

(i, j, k) - ортонормированный базис в этом пространстве.

Векторным произведением векторов  называют такой вектор  , что

1)

то есть длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах;

2) вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ;

3) векторы  образуют правую - тройку, то есть вектор  направлен так, что, если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от  совершается против часовой стрелки.

Векторное произведение обозначается  или .

Свойства векторного произведения:

1.

2. , λ - скаляр;

3.

Пример 19. Найти векторное произведение ортов (базисных векторов) i, j, k.

Решение

, так как

аналогично

Согласно определению:

 

 

2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.

Пусть известны координаты векторов , то есть

Используя свойства векторного произведения, найдем:

Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:

правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:

Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения:

в частности, площадь треугольника

Одним из физических приложений векторного произведения является нахождение момента силы, возникающего при вращении твердого тела, закрепленного в некоторой точке А, под действием силы  , приложенной в точке В:

Пример 20. Найти площадь треугольника АВС, где А (-2, 1, 0);

В (3,4, 8); С (-1,3,6).

Решение

Площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна

Найдем координаты векторов:

=(-1+2; 3-1; б-0)=(1,2,6)

=(3-(-2); 4-1; 8-0)=(5, 3, 8)

их векторное произведение равно:

Итак,  или

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ