ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.

В линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число такое, что:

1о.

2о. λ - скаляр;

3о. 

Линейное пространство L называется евклидовым пространствам, если в нем определено скалярное произведение и для любого вектора, его скалярный квадрат будет положительным.

4°. при   то ā=0

 Обозначают n-мерное евклидово пространство Еn.

Таким образом, линейное пространство будет евклидовым, если введенное там (как угодно) скалярное произведение векторов будет удовлетворять четырем аксиомам 1°, 2°, 3°, 4°.

Пусть векторы заданы своими координатами

ā=(x1,x2,…,xn) и =(γ1 , γ2 , …, γn).

Легко проверить (проверьте!), что всем аксиомам будет удовлетворить скалярное произведение, определенное как сумма произведений соответствующих координат перемножаемых векторов

 или .

Нормой (длиной) вектора '

называется число, равное

или

в координатной форме

Угол между векторами  определяется по формуле

Покажем, что это определение корректно, то есть выполняется условие

Пусть λ - любое действительное число, .

Согласно аксиоме 4°, имеем  используя аксиомы 1°-3°, последнее неравенство можно записать в виде

Это квадратное неравенство относительно λ справедливо, если его дискриминант неположительный, то есть,

 или

Итак, доказали, что для любых  справедливо неравенство

оно называется неравенствам Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует:

 или 

итак, действительно 

Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.

Базис ē1, ē2, …, ēn в пространстве Еn называется ортонормированным, если имеет место:

В частности, в пространстве Е2 ортонормированным базисом является система двух векторов, их обозначают i, j:

 

в пространстве E3 ортонормированный базис обозначают i, j, k:

 

Пример 18. Дан треугольник АВС. где А(1, 2); В(0, 3); С(-2, -1). Найти

периметр его и угол А.

Решение

Обозначим векторы . Используя скалярное произведение, найдем . Координаты вектора ā находим,  вычитая из координат его конца - точки С, соответствующие координаты начала его точки А.

Аналогично,

Найдем 

Таким образом,

Чтобы найти периметр ΔАВС, надо найти длины всех его сторон:

Итак, периметр ΔАВС равен

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ