ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Продажа сверлильных станков Proxxon в Москве с доставкой по России и СНГ

ЛИНЕЙНОЕ (ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО

Определение линейного пространства

Пусть ā , ,  - элементы некоторого множества ā , ,   L и λ , μ - действительные числа, λ , μR..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

10. Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+=+ ā;

2. ā+(+)=( ā+)+;

3. существует нулевой элемент  , такой, что ā+=ā;

4. существует противоположный элемент -  такой, что ā+(-ā)=.

 Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ, ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ;

8. (λ+μ) ā=λ ā +μā

Элементы линейного пространства ā, ,  ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

Линейно зависимые и независимые векторы.

Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2, …, ān   L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1, .. , ān называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λi равны нулю, то есть

 λ i =0 

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λi отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть  и, например, . тогда, , где  .

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n-мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные , то , λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R, размерность его равна 1.

 

б) любые два неколлинеарные векторы  будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа  и  такие, что . Пространство называют двумерным, обозначают R2.

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R3.

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē1=x2; ē2=x; ē3=1.

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису

Всякий элемент n-мерного линейного пространства можно представить, притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть ē1, ē2, …, ēn - базис линейного пространства L. Рассмотрим любой вектор ā L. Тогда система векторов ē1,…, ēn, ā - линейно зависимая, то есть λ1ē1+…+ λnēn+ λn+1 ā=0 , причем λn+1≠0.

Если λn+1=0, тогда  и какое-то из λi≠0

Это означает: ē1, ē2, …, ēn - линейно зависимы, что противоречит условию: ē1, ē2, …, ēn - базис, то есть линейно независимая система векторов.

Итак, λn+1≠0, тогда, то есть

, где .

Таким образом, показали, что любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса.

Покажем, что такое разложение единственно. Предположим, что наряду с полученным разложением ā по базису , существует другое .

Вычитая, находим .

Так как векторы ē1, ē2, …, ēn - линейно независимы, то последнее равенство имеет место только тогда, когда .

Таким образом, μi=γi для , а следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Всякий базис линейного пространства, векторы которого берутся в определенной последовательности, называют системой координат, а числа - коэффициенты в разложении любого вектора ā по базису - называют координатами вектора ā.

ā=x1ē1+…+xnēn,

где х1,…., хn - координаты вектора ā.

Последнее выражение называют формулой разложения вектора по базису.

В общем случае при изменении базиса, координаты вектора изменяются.

Вектор можно задавать с помощью координат ā=(x1,x2,…,xn).

Рассмотрим два вектора:

ā=(x1,x2,…,xn) и =(γ1 , γ2 , …, γn).

Используя определение линейного пространства, покажите что:

1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

ā+= (x1+γ1 , x2+γ2 , …, xn+γn);

2) при умножении вектора на скаляр λ, каждая координата умножается на это число:

λ ā=(λx1 , λx2 , …, λxn).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ