ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия

Система вида:

называется неоднородной системой т линейных уравнений с п неизвестными.

Здесь х1 ,..., хп - неизвестные величины,

 Аij - коэффициенты системы,

bj, - свободные члены

Совокупность п чисел  которые обращают каждое уравнение системы в тождество, называется решением системы.

Если существует хотя бы одно решение, то система называется совместной, в противном случае - несовместной.

Совместная система называется определенной, если решение единственно, в противном случае - неопределенной.

Если все свободные члены bi = 0 , то система называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет решение хj = 0 , это решение называют тривиальным.

Запишем систему в матричной форме:

АХ=В,

где матрица , составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы:

- матрица неизвестных,  - матрица свободных членов

Если к матрице системы А присоединить столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы, обозначим её

.

Методы решение систем

Ответ на вопрос о совместности неоднородной системы дает теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть:

rang A = rang.

Рассмотрим систему, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т=п.

АХ=В,

где А=(аij) - квадратная матрица порядка n. При решении такой системы возможны два случая:

Матрица А - не вырождена, ее определитель.

 В этом случае существует обратная матрица А-1. Уравнение АХ=В умножим слева на А-1, получим:

А-1AX= А-1B,

так как А-1А = Е, то решение системы найдено

X= А-1•B.

Итак, система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратной матрицы по формуле:

Отсюда легко получаются известные формулы Крамера:

или

 ,

где  - определитель матрицы А, у которой i-ый столбец заменен столбцом свободных членов.

Пример 13. Решить систему с помощью обратной матрицы:

.

Решение

Установим, будет ли основная матрица системы невырожденной, для этого найдем ее определитель:

, следовательно А -не вырождена.

Решение Х ищем по формуле Х = А-1В.

Найдем обратную матрицу .

Вычислим все алгебраические дополнения:

; А21=1; А31=8;

; А22=2; А32=-5;

 А23=5; А33=-2.

тогда:

Найдем неизвестные системы:

итак,   .

Пример 14. Решить систему, используя формулы Крамера:

.

Решение

Найдем определитель основной матрицы системы:

, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера:

  

где

итак,  

 

Матрица А - вырождена, то есть А = detA = 0.

Тогда ее ранг r(А) = r < п.

Условие совместности тоже выполнено, так как ранг расширенной матрицы  равен r:

Как найти и записать решения системы в этом случае?

Пусть базисный минор матрицы А, порядок которого равен r,находится в левом верхнем углу. В этом случае п-r уравнений, коэффициенты которых не входят в базисный минор, будут линейными комбинациями первых уравнений и могут быть отброшены.

Тогда система имеет следующий вид:

Перепишем систему, оставив слева только r слагаемых в каждом уравнении:

x1 , x2, …, xr называют базисными переменными,

 xr+1 , …, xn называют свободными переменными.

Если выразить базисные переменные в общем виде через свободные, то получим общее решение системы. Если в этом общем решении придавать свободным переменным конкретные числовые значения, то получим частное решение системы.

Таким образом, в этом случае, когда r(А) = r() < п, система имеет бесчисленное множество решений (пример 16).

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим неоднородную систему т уравнений с n неизвестными

АХ=В, где

Выпишем расширенную матрицу системы:

,

с помощью эквивалентных

преобразований над строками приведем эту матрицу к треугольному или трапециидальному виду. Решая систему уравнений, соответствующую полученной после преобразований матрице, находим единственное (пример 15) или общее (пример 16) решение данной системы.

Пример 15. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив эквивалентные преобразования:

 ~   ~

 ~   ~

 ~ .

 Очевидно, что r(А) = r()=4, следовательно, система совместна

Очевидно, что r(А) = r()=4, следовательно, система совместна, причем имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую последней матрице:

Находим значения неизвестных:

   

Итак, решение системы:

  

Пример 16. Исследовать на совместность и найти общее решение системы

.

Решение.

Найдем ранг расширенной матрицы системы:

 для этого из первой строки вычтем третью,

получим:

 ~

Очевидно, что r(А) = r()=2

Следовательно, система совместна. Здесь r=2, n=3, так как r<n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем общее решение системы. Запишем систему, полученную после выполнения эквивалентных преобразований над расширенной матрицей системы:

 или ,

где x1, x2 - базисные переменные,

x3 - свободная переменная.

Из первого уравнения найдем:

.

Итак, общее решение имеет вид: 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ