МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 1. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частное и полное приращение.

 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.

 3. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрии­ческий смысл частных производных функции нескольких переменных.

 4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функ­ции нескольких переменных.

 5. Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции. Полный дифференциал.

 6. Производная по направлению. Градиент функции нескольких переменных. Свойства градиента.

 7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

 8. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и доста­точные условия существования экстремума.

 9. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

10. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в области.

. Понятие функции нескольких переменных и ее предела

 Пусть  – множество точек  пространства . Если каждой точке  по определенному закону  ставится в соответствие неко­торое число , то говорят, что на множестве   определена функция   переменных .

 При этом  называются независимыми переменными или аргументами.

 Множество  точек , для которых существует , называют областью определения функции и обозначают , а множество значений  обозначают .

  – функция двух переменных.

Пусть функция определена на множестве .

 Число b называют пределом функции  в точке , если для любого числа  существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

 Обозначение:

  или .

 Частным приращением по переменной  функции в точке  называется разность

,

где  – приращение переменной .

 Если существует , то он называется частной производной функции   по переменной  в точке Х и обозначается  (или ).

 При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

 Пример 4.1. Найти частные производные функции .

Решение. Имеем

,

.

 Рассмотрим функцию трех переменных  на множестве .

 Полным дифференциалом функции и в точке  называется главная часть полного приращения функции

,

линейная относительно приращений переменных ,  и ( А , В, С – постоянные числа ).

 Полный дифференциал находят по формуле

, (4.1)

где .

 Производной по направлению вектора  функции  в точке  называется предел

, если этот предел существует.

 Обозначим через  направляющие косинусы вектора .

Тогда

 (4.2)

 Градиентом функции  в точке  называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных  в этой точке:

 (4.3)

 При этом: 1) , 2) .

 Пример 4.2. Дана функция , точка , вектор . Найти: а) полный дифференциал , б) производную по направ­лению вектора , в) градиент функции  в точке .

 Решение. Найдем частные производные функции :

.

.

 Вычислим значения производных в точке :

,

.

а. Находим полный дифференциал функции в точке по формуле (4.1):

.

б. Найдем направляющие косинусы вектора . Имеем ,

 .

 По формуле (4.2) вычисляем производную

.

в. Вычисляем градиент функции в точке по формуле (4.3):

.

Частные производные и дифференциал высших порядков

Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке .

Частные производные по переменным  от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются

.

Производные называются смешанными производными.

Если смешанные производные непрерывны, то справедливо равенство .

Полным дифференциалом второго порядка функции  называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается

.

Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция  определена в области . Функция  имеет в точке  локальный максимум (минимум), равный , если существует такая  – окрестность этой точки, что для всех отличных от  точек  из этой окрестности имеет место неравенство .

Необходимые условия экстремума. Если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Если  – точка экстремума дифференцируемой функции

, то .  (4.4)

Из этой системы уравнений находят стационарные точки.

Сформулируем достаточные условия существования экстремума.

Пусть , где  – стационарная точка дважды дифференцируемой функции . Тогда:

1) если , то  имеет в точке  локальный экстремум (при  – локальный максимум, при  – минимум);

2) если , экстремума в точке  нет;

3) если , функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Пример 4.3. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость.

Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4):

.

Решая эту систему, получим две стационарные точки  и .

 Находим частные производные второго порядка:

. Вычисляем их значения в точках  и .

В точке : . Тогда имеем . Следовательно, точка  не является точкой экстремума.

 В точке : . Тогда . Так как , то точка  – точка локального минимума.

 Вычисляем .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ