МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Исследование функций и построение графиков

 Если для двух любых значений аргумента  и  , взятых из области определения функции, из неравенства  следует, что

 а) , то функция называется возрастающей;

 б) , то функция называется неубывающей;

 в) , то функция называется убывающей;

 г) , то функция называется невозрастающей.

 Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции назы­ваются строго монотонными.

 Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция , дифференцируемая на , возрастает (убывает) на  тогда и только тогда, когда ; если при этом не существует интервала , такого, что , то  строго возрастает (убывает) на .

 Значение  называется локальным максимумом (минимумом) функции , если существует такая  – окрестность точки , что   и  выполняется неравенство  ().

 Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

 Необходимое условие экстремума: если функция в точке  имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

 Внутренние точки множества , в которых  непрерывна, а ее производная  равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .

Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция   дифференцируема в некоторой   – окрестности критической точки   , кроме, может быть самой точки , а  при , и при , то в точке  функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке  функция   дважды дифференцируема и , то в этой точке функция  имеет локальный максимум (минимум).

 График дифференцируемой функции  называется выпуклым (вогнутым) на , если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке , где .

 Если функция  в интервале  дважды дифференцируема и  , то график функции в этом интервале выпуклый ( вогнутый).

 Точка  графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная  функции в точке  равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то  – точка перегиба графика функции .

 Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат.

 Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая   называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции   в точке а равен бесконеч­ности:  или .

 Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции   при , если функцию  можно пред­ставить в виде , где  – бесконечно малая функция при .

 Если существуют пределы:,

то уравнение определяет наклонную асимптоту.

 Если , то  – горизонтальная асимптота.

Построение графика функции

 Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

Найти область определения функции.

Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.

Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.

Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

Построить график функции.

Пример 3.16. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. 1. Находим область определения .

2. Поскольку , то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как , то график функции не пересекает ось ;

б) при  график функции пересекает ось Оу в точке .

3. Функция не определена в точке . Поскольку  , то  – точка разрыва второго рода. Так как , то прямая  есть вертикальная асимптота.

Далее находим

,

.

Следовательно, прямая  есть наклонная асимптота.

4. Вычислим .

Первая производная не существует в точке , которая не принадле­жит области определения  и, следовательно, не является критической точкой.

При  получаем   или . Точки  и  являются критическими (стационарными) точками.

 Определим интервалы монотонности из неравенств  и :

  при ;

 при .

Следовательно, функция возрастает при  и убывает при .

 В точке функция имеет максимум  =.

В точке функция имеет минимум  =.

 5. Находим

.

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств . Имеем   при ,  при . Следовательно, кривая выпукла на  и вогнута на . Так как  не принадлежит области определения функции и , то точек перегиба нет.

 Результаты исследования функции  заносим в таблицу.

1

+

0

не сущ.

0

+

не сущ.

+

+

+

- 0,83

max

не сущ.

4,83 min

 

6. Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ