МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Правило дифференцирования сложной функции

Если  и  – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции)  существует и равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

.

 Пример 3.11. Найти производную функции .

 Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией.

 Первый промежуточный аргумент , второй .

 Так как , ,

 , то .

Дифференцирование неявных функций

 Пусть функция  задана уравнением . В этом случае говорят, что функция у задана неявно.

 Производная  может быть найдена из уравнения , где  рассматривается как сложная функция от переменной х.

 Пример 3.12. Найти производную функции , заданной неявно.

Дифференцируем это равенство по х, считая, что у – функция от х: 3. Отсюда .

Дифференцирование функций, заданных параметрически

 Пусть функция задана параметрически: .

 Пусть  и  - дифференцируемые функции и . Тогда имеем:

 . (3.1)

 Пример 3.13. Найти производную функции .

Решение. Находим , . Тогда по формуле (3.1) получаем

 .

Дифференцирование степенно-показательной функции

 Пусть , где ,  и  – дифференцируемые функции по х.

 Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования.

Пример 3.14. Найти производную функции

 Логарифмируем данное равенство по основанию :

.

 Дифференцируя обе части последнего равенства по х как сложную функцию получаем:

.

 Откуда находим

,

или

.

Производные высших порядков

Производной второго порядка функции  называется произ­водная от ее производной  (которую называют первой производ­ной).

 Рассмотрим функцию  заданную параметрически: . Имеем . Тогда по формуле (3.1) получаем

 . (3.2)

Пример 3.15. Найти , если

Решение. Находим . По формуле (3.1) получаем

.

 Находим

.

 По формуле (3.2) получаем

.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ