МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание век­торов. Умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось.

2. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве. Проекции вектора на оси координат. Направляющие косинусы вектора. Длина и координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме.

3. Скалярное произведение векторов. Его свойства и приложение.

4. Векторное произведение двух векторов. Его свойства и приложение. Условие компланарности трех векторов.

5. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и приложение.

6. Различные уравнения плоскости. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

7. Взаимное расположение плоскостей и прямых. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

8. Расстояние от точки до прямой и плоскости.

9. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канони­ческих уравнений.

10. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследова­ние формы поверхности методом сечений.

11. Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства.

Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними:

.

Если векторы  и  заданы своими координатами , , то .

Угол  между векторами  и  определяется по формуле

. (2.1)

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор, обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям:

а) , б) ,

в) векторы , ,  образуют правую тройку векторов.

Модуль векторного произведения  равен площади S параллело­грамма, построенного на векторах  и :

 . (2.2)

В координатной форме векторное произведение  находится по формуле

.

 Смешанным произведением трех векторов  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор . Обозначается смешанное произведение .

 В векторной форме смешанное произведение  находят по формуле

.

Модуль смешанного произведения  равен объему V параллелепипеда, построенного на векторах :

. (2.3)

Плоскость и прямая в пространстве

Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  и имеющее нормальный вектор , в декартовых координатах имеет вид:

 или ,  (2.4)

где .

Уравнение (2.4) называют общим уравнением плоскости.

Если все коэффициенты уравнения (2.4) отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду

, (2.5)

где  – величины отрезков, отсекаемых на коорди­натных осях. Уравнение (2.5) называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид

. (2.6)

Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Пусть  – направляющий вектор прямой, точка  принадлежит прямой. Тогда уравнения прямой вида

 (2.7)

называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

 Пусть даны две точки  и , лежащие на прямой.

 Уравнения вида

 (2.8)

называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки. 

 

Угол  между прямой  и плоскостью  определяется по формуле

. (2.9)

 Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Требуется найти: а) длину ребра ; б) угол между ребрами  и ; в) площадь грани ; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой ; е) уравнение плоскости ; ж) угол между ребром   и гранью ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань .

Решение. а) Длину ребра  определяем по формуле

,

где . В нашем случае . Тогда .

б) Угол между ребрами  и  находим как угол между векторами  и  по формуле (2.1): . Имеем , находим .

Тогда

.

в) Площадь грани  вычисляем как площадь треугольника, построенного на векторах , (формула (2.2)): . Имеем , ,

г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): .

Имеем.

Отсюда (ед3).

д) Уравнения прямой  найдем по формуле (2.8):

 или .

е) Уравнение плоскости  определяем по формуле (2.6):

 или .

Отсюда

,

ж) Угол между ребром  и гранью  находим как угол между прямой и плоскостью  по формуле (2.9). В нашем случае  . Тогда

.

з) Уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань , определяем как уравнение прямой, проходящей через   перпендикулярно плоскости . Уравнение плоскости : . Тогда имеем . По формуле (2.7) получаем .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ