МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Решение произвольных систем линейных уравнений

 Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.1).

 Элементарными преобразованиями матрицы называются:

а) перестановка местами любых двух строк;

б) умножение строки на некоторое число ;

в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на некоторое число;

г) удаление нулевой строки.

 Решение системы методом Жордана–Гаусса основано на следующем утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы системы не изменяют множества решений системы.

 Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду.

 С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из всех уравнений, кроме одного.

 Переменная  называется базисной в i–м уравнении, если  при .

 Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводит­ся к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы есть базисная переменная.

 Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными.

 Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свободных переменных, называется базисным.

 Опишем одну итерацию метода Жордана–Гаусса.

 В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент . Если таковых нет, то в случае  вычеркиваем данную нулевую строку; если , то система несовместна.

 Элемент  называют ведущим элементом.

 Если , то делим первую строку расширенной матрицы на этот элемент . Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на (), где i – номер изменяемой строки.

 После этой операции коэффициент при  в первом уравнении будет равен единице, а во всех остальных уравнениях – нулю. Следовательно, переменная   станет базисной.

 Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной матрицы, пока не получим m базисных неизвестных ( в каждом уравнении – по одной базисной переменной).

 После этого находим общее решение и базисное (приравнивая свободные неизвестные нулю).

Пример 1.2. Решить систему линейных уравнений

методом Жордана–Гаусса. Найти общее и базисное решения.

Решение. Вычисления будем производить в таблице. В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы.

В первой строке выберем элемент  ведущим. Выделим ведущий элемент рамкой. Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-3), к третьей – первую строку, умноженную на (-1), и к четвертой – первую строку, умноженную на (-3). В результате получим таблицу, в которой переменная  стала базисной.

Выбираем элемент  ведущим. С помощью элементарных преобразований получаем таблицу, в которой переменная  стала базисной.

Выбираем, например, элемент  ведущим и делим на него элементы третьей строки. Получаем таблицу

.

Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца. Получаем таблицу, в которой переменная  стала базисной.

Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу

.

Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной переменной, то оставшаяся небазисная переменная  является свободной.

Полагаем . Из последней строки таблицы получаем .

Из второй строки следует , откуда находим  или .

Из первой строки следует , откуда получаем  или .

Выписываем общее решение: .

Найдем базисное решение. Положим . Тогда имеем .

Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему

Ответ. Общее решение: , базисное решение: .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ