МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц. Обратная матрица.

2. Определители n-го порядка и их свойства. Методы вычисления определителей.

3. Обратная матрица.

4. Ранг матрицы.

5. Решение невырожденных систем линейных уравнений.

6. Теорема Кронекера – Капелли. Решение произвольных линейных систем.

Решение невырожденных систем линейных уравнений

 Пусть задана система линейных уравнений

 (1.1)

где  – заданные числа,  – неизвестные, .

 Решением системы (1.1) называется такое множество значений неиз­вестных , при которых каждое уравнение обра­щается в тождество.

 Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая решений – несовместной.

 Матрицы

 и

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.

 Рассмотрим случай, когда число уравнений m системы совпадает с числом неизвестных n (m = n). Тогда матрица системы А является квадратной матрицей порядка n.

 Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель матрицы системы А отличен от нуля ().

 Обозначим

 

Невырожденная система имеет единственное решение. Существует два метода решения таких систем.

1. Правило Крамера. Если определитель Δ отличен от нуля, то решение системы находится по формулам

, (1.2)

где  – определитель, полученный из определителя Δ заменой j–го столбца столбцом свободных членов.

2. Матричный метод. Введем матрицу столбец свободных членов системы  и матрицу-столбец неизвестных .

 Тогда систему n уравнений с n неизвестными можно записать в виде

 . (1.3)

Эта форма записи системы называется матричной.

Матрицей , обратной к матрице А размера , называется такая матрица, для которой справедливо равенство

,

где Е – единичная матрица n-го порядка.

Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

Для того чтобы данная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть А – невырожденная матрица. Тогда решение системы можно найти по формуле

 . (1.4)

Пример 1.1. Проверить невырожденность системы линейных уравнений   и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

 Решение. Запишем матрицу системы . Проверим невы­рожденность системы. Для этого вычисляем определитель Δ матрицы А:

.

Так как , то система невырождена. Решаем ее

а) по формулам Крамера.

 Вычисляем определители:

.

По формулам (1.2) находим решение системы:

Делаем проверку: .

б) матричным методом.

 Находим обратную матрицу

,

где  – союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений  элементов  матрицы А.

, ,

где  – определитель, полученный из определителя Δ вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Имеем:

,

,

.

Тогда получаем

.

По формуле (1.4) находим решение:

.

Ответ: .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ