Контрольная работа Приложения дифференциального исчисления примеры решений

Контрольная работа 4

Приложения дифференциального исчисления

Основные теоретические сведения

1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность  или ) равен пределу отношения их производных

 , (4.1)

если предел справа существует.

2. Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство  или , то точка  называется точкой экстремума функции  (соответственно точкой максимума или минимума).

Необходимое условие экстремума: если  - экстремальная точка функции , то первая производная  либо равна нулю или бесконечности, либо не существует.

Достаточное условие экстремума:  является экстремальной точкой функции , если ее первая производная   меняет знак при переходе через точку : с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

3. Точка  называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку   меняется направление выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба: если  - точка перегиба кривой , то вторая производная   либо равна нулю или бесконечности, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба:  является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку   вторая производная   меняет знак.

4. Прямая линия  называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки  кривой до этой прямой стремится к нулю . При этом

 , (4.2)

При значении  имеем горизонтальную асимптоту: . Если

  или ,  (4.3)

то прямая линия  называется вертикальной асимптотой.

5. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями, найти интервалы знакопостоянства;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений ;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений ;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика функции точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

График функции лучше всего строить в таком порядке:

1) построить все асимптоты, если они есть;

2) нанести на график характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки, в которых есть экстремумы, точки перегиба;

3) построение проводить по интервалам непрерывности с учетом проведенных исследований.

6. При определении наибольших и наименьших значений функции

на отрезке необходимо:

1) найти значения функции на концах отрезка ;

2) определить критические точки первого рода (к.т.I);

3) вычислить значения функции к.т.I ;

4) выбрать из величин  наименьшее значение (m) и наибольшее значение (M ) функции.

Пример 1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

При исследовании функции на монотонность и экстремумы

(по первой производной ) необходимо:

1) найти область определения функции;

2) найти ;

3) определить к.т.I и пронумеровать их в порядке возрастания;

4) построить таблицу 1.

Таблица 1

Интервалы монотонности и к.т.I

Поведение  на интервалах монотонности и к.т.I

Поведение функции на интервалах монотонности и ее значения к.т.I

▲ 1)  2) ;

3)   не существует . Критические точки  и , точка  не является критической, так как она является границей области определения функции.

Таблица 1

(-∞;-3)

-3

 (−3; −1)

-1

(−1; 0)

0

(0; ∞)

-

0

+

-

0

-

нет

Знак  на интервале монотонности определяем по ее знаку в произвольной точке этого интервала. Условимся в дальнейшем возрастание (убывание) функции на интервале обозначать символами или .

Исследуемая функция, как следует из таблицы 1, имеет минимум в точке . Точки  и  не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак. ▼

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

Понятие числовой последовательности и ее предела.

Пример Проверить невырожденность системы линейных уравнений   и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

Пример Решить систему линейных уравнений ь методом Жордана–Гаусса. Найти общее и базисное решения.

 Пример. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Требуется найти: а) длину ребра ; б) угол между ребрами  и ; в) площадь грани ; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой ; е) уравнение плоскости ; ж) угол между ребром   и гранью ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань .

Правило дифференцирования сложной функции

Исследование функций и построение графиков Пример Исследовать функцию  и построить ее график.

 Пример . Дана функция , точка , вектор . Найти: а) полный дифференциал , б) производную по направлению вектора , в) градиент функции   в точке .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ