Контрольная работа Дифференциальное исчисление примеры решений

Пример 9. Найти пределы функции  слева и справа в точках . Узнать, является ли функция непрерывной в этих точках.

▲ Исследуем точку .

вместо переменной x подставляем его предельное

 значение в символах; ,

.

В точке  предел справа не существует, и функция терпит бесконечный разрыв.

Исследуем точку .

,

.

Итак,  - предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке. Следовательно,  непрерывна при . ▼

Пример 10. Исследовать функцию  на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип

▲ Так как функция  определена и непрерывна на интервалах  и  (рис. 4), где она задана непрерывными элементарными функциями, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки  и .

Исследуем точку .

символ   позволяет выбрать нужное аналитическое выражение  из уравнений, ее определяющих.

.

Односторонние пределы функции в точке  существуют, но не равны между собой (нарушено условие 2). Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок .

Исследуем точку .

,

.

Односторонние пределы функции  равны между собой и равны частному значению функции . Следовательно, исследуемая точка  является точкой непрерывности.

Односторонние пределы функции  равны между собой и равны частному значению функции . Следовательно, исследуемая точка  является точкой непрерывности. ▼

 у

 5

 1 

 –2 O 2 х

 –2

Рис. 4

Пример 11. Найти производную функции .

. ▼

Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке. Вычисление значения функции начинается справа налево, а дифференцирование наоборот – слева направо.

Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!

Вопросы для самопроверки

1. Что называется приращением функции  в точке ?

2. От какого аргумента зависит разностное отношение ? Какова область определения функции е ?

3. Дайте определение производной функции  в точке .

4. Каков физический смысл производной функции  в точке ?

5. Каков геометрический смысл производной функции  в точке ? Дайте определение касательной к графику функции  в точке   и напишите уравнение касательной.

6. Когда говорят, что функция имеет в точке  бесконечную производную? Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке вертикальную касательную.

7. Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производной функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют односторонние производные в некоторой точке, но не существует производная в этой точке.

8. Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

9. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Какова физическая интерпретация формулы для производной обратной функции?

10. Что называется сложной функцией?

11. Как сложную функцию записать в виде цепочки простых функций?

12. Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Какова физическая интерпретация формулы для производной сложной функции?

13. Запишите правило дифференцирования сложной функции.

14. Каков порядок дифференцирования сложной функции?

15. В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

16. Что такое параметрическое задание функций?

17. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.

18. Сформулируйте теорему о связи между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке производной.

19. Что такое дифференциал функции в данной точке? От какого аргумента он зависит?

20. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?

21. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

22. Каков геометрический смысл дифференциала?

23. Каков физический смысл дифференциала?

24. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

25. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

После изучения темы ”Дифференциальное исчисление“ выполните контрольную работу 3.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ