Контрольная работа Дифференциальное исчисление примеры решений

Пример 4. Найти .

▲ На основании первой из формул (3.2) получаем

. ▼

Пределы тригонометрических функций

Пределы тригонометрических функций находятся с помощью первого замечательного предела , алгебраических и тригонометрических преобразований.

Пример 5. Найти .

. ▼

Пример 6. Найти .

, обозначим , тогда  и

. ▼

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную, а из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Пример 7. Найти .

 обозначим , тогда   

. ▼

Пределы, связанные с числом e. Второй замечательный предел принято писать в одном из ниже указанных видов:

.

Если во втором замечательном пределе непосредственно подставить предел аргумента, то получится неопределенность вида ; поэтому, если при x ® 0 или x ® ±¥ функция  дает неопределенность вида , то предел этой функции связан с числом e.

Пример 8. Найти .

 таким путем из дроби  выделяется бесконечно малая функция

 

. ▼

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида  , где  − многочлены.

2. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида , если нужно найти ,  − любые алгебраические функции.

3. Как раскрыть неопределенности ?

4. Что устанавливает первый замечательный предел?

5. Какими пределами можно заменить число e?

6. Как и когда применяется замена переменных при отыскании пределов от тригонометрических функций и пределов, связанных с числом e?

7. Усвоили ли вы, как быстро, в уме найти ?

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ