Контрольная работа Дифференциальное исчисление примеры решений

Контрольная работа 3

Пример 1. Вычислить .

▲ Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при значении . Если  - корень многочлена, то этот многочлен делится на двучлен  без остатка. По теореме Безу в этом случае каждый многочлен (в числителе и знаменателе) может быть представлен в виде произведения двучлена  на некоторый многочлен. Таким образом, нахождение предела сводится, прежде всего, к выделению в числителе и знаменателе множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность . Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например, делением «уголком».

Теперь искомый предел можно представить в виде

.

Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим

. ▼

Раскрытие неопределенностей

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида  при отыскании предела отношения многочленов , нужно

1) определить тип неопределенности,

2) если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на двучлен .

Пример 2. Вычислить .

▲ При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида  используется рассмотренный выше прием, но только после предварительных алгебраических преобразований. Умножим числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

. ▼

Пример 3. Найти .

▲ В данном примере теорема о пределе частного (дроби) неприменима, так как пределы числителя и знаменателя дроби не существуют. При x ® ¥ и числитель, и знаменатель дроби функции бесконечно большие. Значит, мы имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций. Чтобы найти предел, преобразуем данную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на величину , т.е. на старшую степень переменной x. Пользуясь свойствами пределов, получим .

Слагаемое  - величина бесконечно малая. А потому  и  - величины бесконечно малые и пределы этих величин равны нулю, когда переменная x ® ¥. После деления числителя и знаменателя на величину  оказалось возможным применить теорему о пределе частного, так как теперь и числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не равен нулю. ▼

Раскрытие неопределенностей вида

Если предел отношения двух алгебраических функций при x ® ¥ дает неопределенность вида , то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.

Раскрытие неопределенностей вида ¥ - ¥ и 0×¥

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида ¥ - ¥, необходимо с помощью алгебраических действий (приведение к общему знаменателю, освобождение от иррациональности) свести ее к неопределенности вида  или .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ