Контрольная работа Элементы линейной алгебры примеры решений

Контрольная работа 2

Пример 4. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

.

▲ Характеристическое уравнение (2.7) для данной матрицы имеет вид

, или .

Его корнем, как легко проверить, будет . Разделим левую часть этого уравнения на двучлен . Квадратное уравнение для определения остальных двух корней будет . Таким образом, матрица A имеет три собственных значения .

Собственный вектор , соответствующий , определяется из системы уравнений вида (2.8)

 или

Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы  меньше числа неизвестных. Найдем ранг матрицы A, для чего преобразуем ее к более простому виду:

.

Так как  (две одинаковые строки в определителе матрицы A) и имеется

минор второго порядка , отличный от нуля, ранг этой матрицы равен двум   и данная система имеет нетривиальное решение. В матрице A минор  отличен от нуля.

Этому базисному минору соответствует система первых двух уравнений, которую можно написать так:  где  - базисные неизвестные;  - свободная неизвестная. Решая эту систему по формулам Крамера, находим

.

Итак, система имеет решение . Придавая свободной неизвестной  произвольные значения , получаем решения исходной системы в виде . Следовательно, первый собственный вектор

.

Второй собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений вида (2.8):

Эта система сводится к системе , решение которой . Полагая , запишем ее решение в виде . Следовательно, второй собственный вектор есть .

Третий собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений:

Эта система уравнений сводится к системе , решение которой . Полагая , запишем ее решение в виде . Следовательно, третий собственный вектор есть

. ▼

Пример 5. Изобразить на комплексной плоскости числа: 1) , 2) . Записать число  в тригонометрической форме, а число   - в алгебраической форме.

▲ 1) Для числа  имеем . Откладывая по оси , а по оси , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу .

Модуль этого числа находим по формуле (2.9): .

Аргумент определяем из равенства . Так как число  находится в левой полуплоскости , его аргумент . Тригонометрическая форма числа   имеет вид .

 у 

 

  

 О х 

Рис. 2

2) Модуль числа  равен , а аргумент . Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом  к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной . Полученная точка соответствует числу . Его действительная часть , а мнимая часть . Таким образом, алгебраическая форма числа  имеет вид . ▼

Пример 6. Вычислить .

▲ Найдем модуль и аргумент данного числа (формулы (2.9)):

; ; ;

 (так как , число  находится во второй четверти комплексной плоскости)

По формуле (2.12)

,

откуда

;

.

.

После изучения темы “Элементы линейной алгебры” выполните контрольную работу 2.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ