Контрольная работа Элементы линейной алгебры примеры решений

Контрольная работа 2

Пример 1. Найти произведение матриц .

▲ Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, поэтому определено произведение .

Умножая матрицы, целесообразно расположить их удобным способом. Для этого может употребляться, например, схема Фалька. Расположим умножаемые матрицы  и произведение матриц  таким образом, чтобы элемент  матрицы-произведения C лежал на пересечении i-й строки A и j-го столбца B (схема 1).

Решение представлено на схеме 2. В схеме 2 угловыми скобками выделено вычисление элемента  (сам элемент выделен фигурными скобками):

 Схема 1 Схема 2

. ▼

Пример 2. Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

▲ Вычислим определитель системы:

 (-3) (-1)

Так как , решение системы может быть найдено по формулам Крамера (2.5). Для этого найдем :

,

,

.

Подставляя найденные значения определителей в формулы (2.5), получаем искомое решение: . ▲

Пример 3. Найти решение системы примера 3 средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

▲ Здесь . Так как определитель матрицы системы  отличен от нуля (см. пример 2), то матрица A имеет обратную матрицу. Для нахождения обратной матрицы   вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A

,

,

.

Составим матрицу из алгебраических дополнений  и присоединенную матрицу

.

Согласно формуле (2.3), матрица , обратная к A, имеет вид

.

Проверим правильность вычисления , исходя из определения обратной матрицы (2.2) и используя схему Фалька:

Схема 3

.

Матричное решение данной системы в силу формулы (2.6) и равенства  имеет вид ;

.

Схема 4

Откуда следует (из условия равенства двух матриц), что

. ▼

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ