Контрольная работа Элементы линейной алгебры примеры решений

Контрольная работа 2

Элементы линейной алгебры

Основные теоретические сведения

1. Матрицей  называется прямоугольная таблица, составленная из   элементов  некоторого множества. Записывается матрица в виде .

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента  обозначает номер строки, а второй j – номер столбца. На пересечении i-ой строки и j-го находится этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n столбцов, то, по определению, она имеет размерность . Матрицы A и B называются равными, если все их соответствующие элементы  и  равны, т. е. . Следовательно, равными могут быть только матрицы одинаковой размерности.

Матрица размера  называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы  образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается |A| или .

Матрица E с элементами  называется единичной матрицей n-го порядка.

Основные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.

Произведением матрицы  размера  на матрицу  размера  называется матрица  размера  с элементами

  (2.1)

(поэлементное умножение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B).

Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя. Схематически правило для вычисления элементов в произведении двух матриц можно изобразить так:

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами, и каковы их свойства?

2. Как сложить две матрицы и всегда ли это можно сделать?

3. Как умножить матрицу на число?

4. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?

5. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

6. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы их свойства?

7. Каковы способы вычисления определителей?

8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

9. Как умножить матрицу на матрицу? Всегда ли это выполнимо?

10. Какая матрица называется единичной, квадратной и транспонированной?

Матрица  называется обратной для квадратной матрицы , если

 . (2.2)

Чтобы найти обратную матрицу , нужно выполнить следующие операции:

1) найти определитель матрицы A (|A|);

2) составить матрицу из алгебраических дополнений к элементам данной матрицы;

3) транспонировать матрицу из алгебраических дополнений и получить присоединенную (союзную) матрицу ;

4) записать

 . (2.3)

Транспонированной матрицей  называется матрица, полученная из данной матрицы A заменой ее строк столбцами с теми же номерами.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными:  ~ .

Рангом матрицы A называется такое число r, что среди миноров r-го порядка матрицы A имеется хоть один, не равный нулю, а все миноры (r + 1)-го порядка (если только их можно составить) сплошь равны нулю.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными  имеет вид

  (2.4)

где  - коэффициенты системы;  - свободные члены.

Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Если D¹0, то единственное решение системы (2.4) выражается формулами Крамера:

 , (2.5)

где  - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы D заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами .

Систему можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда ее решение имеет вид

, (2.6)

если определитель системы отличен от нуля.

Исследование и решение линейных систем

можно проводить по следующей схеме.

1. Составить матрицу A и расширенную матрицу  из коэффициентов данной линейной системы m уравнений с n неизвестными.

2. Найти ранг r матрицы A данной системы и ранг  расширенной матрицы .

3. Сравнить ранги указанных матриц и сделать выводы;

а) если , то система несовместна (не имеет решений);

б) если , то система совместна (имеет решения).

4. В случае  выделить базисный минор и базисные неизвестные, данную систему заменить равносильной ей системой, состоящей из тех r уравнений, в которые входят элементы базисного минора.

5. Если , т. е. число базисных неизвестных равно числу неизвестных данной системы, то система имеет единственное решение; это решение можно найти по формулам Крамера.

6. В случае  из полученной системы, равносильной исходной системе, находим выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные. Придавая свободным неизвестным произвольные вещественные значения, находим бесконечное множество решений полученной и исходной линейных систем.

3. Число l называется собственным числом (значением) квадратной матрицы A, если существует ненулевой столбец X такой, что .

Если l - собственное число матрицы A, то всякий столбец X, удовлетворяющий условиям , называется собственным столбцом (вектором) матрицы A, соответствующим собственному числу l.

При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений l

. (2.7)

Координаты собственного вектора , соответствующие собственному значению , являются решением системы уравнений

  (2.8)

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие несовместными?

3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

5. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

6. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

7. При каком условии однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

8. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений.

9. Какие разновидности метода Гаусса вы знаете?

10. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений?

11. Какие неизвестные в системе линейных уравнений, и в каком случае называют свободными, а какие базисными?

12. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

13. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?

14. Запишите систему линейных уравнений с помощью матриц.

15. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

4. Выражение вида  называется комплексным числом (в алгебраической форме). Здесь  - действительная (вещественная) часть, а  - мнимая часть комплексного числа. Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости. Точки, соответствующие действительным числам , расположены на оси , которая называется действительной осью комплексной плоскости, а точки, соответствующие мнимым числам , - на оси , которую называют мнимой осью комплексной плоскости.

Число  называется модулем комплексного числа . Угол j, образованный вектором  с положительным направлением оси , называется аргументом комплексного числа и обозначается

.

Очевидно, что для всякого комплексного числа  справедливы формулы

  (2.9)

где главное значение аргумента  удовлетворяет следующим условиям:  или .

Всякое комплексное число  может быть представлено в тригонометрической форме

 (2.10)

или в показательной форме

  (2.11)

(так как по формуле Эйлера ). Формулы (2.10) и (2.11) целесообразно применять при умножении комплексных чисел, а также при возведении их в степень.

Для извлечения корня n-й степени (nÎN) из комплексного числа в тригонометрической форме (2.10) используется формула, дающая n значений этого корня:

 , (2.12)

где  - арифметический корень из модуля z, а .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется комплексным числом?

2. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.

3. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?

4. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

5. Что называется алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа?

6. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

7. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами?

8. Запишите формулу Муавра.

Пример. Найти произведение матриц . Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, поэтому определено произведение .

Пример. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ