Контрольная работа Линейная алгебра и аналитическая геометрия примеры решений

Контрольная работа 1

Пример 1. По координатам вершин пирамиды ,  найти:

1) длины ребер  и ; 2) угол между ребрами  и ;

3) площадь грани ; 4) объем пирамиды .

▲ 1) Находим векторы  и :

;

.

Длины этих векторов, т.е. длины ребер  и , таковы:

.

2) Скалярное произведение векторов  и  находим по формуле (1.2)

,

а косинус угла между ними – по формуле (1.4):

.

Отсюда следует, что  – острый угол, равный  рад с точностью до 0.01.

Это и есть искомый угол между ребрами  и .

3) Площадь S грани  равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов (см. формулу (1.6) или (1.7)):

.

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке.

Следовательно, .

4) Объем V пирамиды равен  объема параллелепипеда, построенного на векторах .  Вектор .

Используя формулу (1.9), получаем

. ▼

Пример 2. Найти угол между плоскостью , проходящей через точки , и плоскостью , заданной уравнением .

▲ Уравнение плоскости  находим по формуле (1.12):

,

т.е. .

По уравнениям плоскостей определяем их нормальные векторы: , . Угол φ между плоскостями  и  находим по формуле (1.4)

,

откуда  рад. ▼

Пример 3. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки  и .

▲ Используя формулу (1.15), получаем

.

Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая линия принадлежит плоскости . ▼

Пример 4. Найти угол φ между прямой линией, проходящей через точки  и плоскостью .

▲ В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

.

Так как нормальный вектор данной плоскости , то по формуле (1.16) , откуда . ▼

Пример 5. Построить линию .

▲ 1) Найдем область расположения линии из условия :

.

 

Рис. 1. График линии .

2) Составим таблицу

φ

0

r

4.0

3.8

3.4

2.8

2.0

1.2

0.6

0.2

0

3) Из таблицы  при значении ;  при значении .

4) Делаем чертеж, опираясь на таблицу (см. рис. 1). ▼

Пример 6. Дано уравнение линии . Найти ее уравнение в декартовой системе координат.

▲ Воспользуемся формулой  и подставим ее в уравнение линии . Теперь применив формулу (1.18), получим

 

.

Окончательно имеем . ▼

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ