ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O, называется кривой второго порядка, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля

Если А = В = С = 0, то получим уравнение первого порядка, которое определяет прямую на плоскости

Если данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, то имеем так называемую мнимую кривую, например, x2+ у2 = -1 есть уравнение мнимой окружности.

В общем случае может оказаться, что уравнение определяет вырожденную кривую - либо пустое множество, либо точку, либо прямую, либо пару прямых (приведите примеры).

В дальнейшем рассмотрим только невырожденные кривые. Можно показать, что для таких кривых существует прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответственно эллипса, гиперболы и параболы.

2.15.1 Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных есть величина постоянная.

Пусть М(х,у) - произвольная (текущая) точка кривой, F1 и F2 -заданные точки. По условию:

Пусть

 тогда F1(-c;0); F2(c,0)

Так как и , то

Выполним преобразования:

Обозначим:

а2 -с2 = b2 (а > b, почему ?), тогда b2х2 +a2y2=а2b2

или 

Итак, получили каноническое уравнение эллипса

Параметры а и b называются полуосями (большой и малой) эллипса, начало координат - центром кривой. Точки f1 (-с, 0) и F2 (с, 0) называются фокусами эллипса, где с2 = а2 -b2.

Число  или  называется эксцентриситетам эллипса, оно характеризует «сплюснутость» кривой.

В частности, при ε=0, (a=b), имеем 

или x2+y2=a2 - каноническое уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат (фокусы F1 и F2 совпадают с центром).

2.15.2 Гиперболой называется множество точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (отличная от нуля).

По условию

или

Выполнив преобразования (сделайте самостоятельно), обозначив a2+b2=с2, получим каноническое уравнение гиперболы

 

где а и b называются полуосями гиперболы, точки (а, 0) и (-а, 0) - ее вершинами, оси симметрии ОХ и OY - соответственно действительной и мнимой осями, точки F1 (-с, 0) и F2( с, 0) -фокусами гиперболы.

Число  называется эксцентриситетом гиперболы.

 

Прямые (диагонали прямоугольника в центре), уравнения которых

,

 являются асимптотами гиперболы.

Гиперболу, каноническое уравнение которой  называют сопряженной, график ее имеет следующий вид:

 

2.15.3 Параболой называется множество точек, равноотстоящих от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Пусть М(х,у) - текущая точка кривой,  - заданная точка, фокус;

уравнение заданной прямой (директрисы)

- расстояние от точки М до директрисы, оно равно

По условию  или

Выполним преобразования: ;

окончательно каноническое уравнение параболы:

 y2=2xp

 O

 

Число Р называется параметром параболы; точка O(0;0) -вершина параболы;

ось ОХ - ось симметрии параболы;

прямая  - директриса параболы, проходит на расстоянии   от вершины параболы.

Пример 30. Определить вид кривой, найти ее центр, фокусы и эксцентриситет

x2-4x+4y2 =0.

Решение:

Найдем каноническое уравнение кривой, для этого сделаем преобразования:

 x2-4x+4-4+4y2=0

 (x-2)2+4y2=4

Окончательно

Полученное уравнение есть каноническое уравнение эллипса, где а=2; b=1; центр эллипса в точке (2,0).

Найдем фокусы, для этого вычислим параметр с:

тогда:

эксцентриситет эллипса -

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ