ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Угол между прямой и плоскостью

Углом φ между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость

р: Ах + By + Cz + D = 0,

где (A, В, С) - нормальный вектор плоскости;

 (m, и, р) - направляющий вектор прямой l.

 Пусть a - угол между векторами  и , тогда а = 90- φ, следовательно: cosa=cos(90 - φ) =sina.

Из определения скалярного произведения:

или

или 

В частности,

если l||p, то тогда Ат+Вп+Ср=0,

если l p, то , тогда

Пример 26. Найти угол между прямыми l: у- 2х + 5 = 0 и l2: 2y+x+3=0

Решение

Следовательно, , то есть прямые перпендикулярны.

Пример 27. Найти точку пересечения прямой

с плоскостью р: х+2у+z - 4=0.

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим в уравнение плоскости Р, получим

2t+1+2(t-5)+t+3-4=0, 5t=10 или t=2, тогда х =5, y=-3, z=5.

Точка М (5, -3, 5) является точкой пересечения прямой l с плоскостью Р.

Пример 28. Лежит ли прямая

в плоскости Р: x-y-z-3=0.

Решение

Поступаем так же, как в предыдущей задаче,

получим 2t+ 1 --(t-5)-(t+3)-3=0,

2t-t-t+1+5-3-3=0;

0t = 0, получили тождество, то есть при любом t мы получим все точки прямой l, следовательно, прямая l принадлежит плоскости

Пример 29. Найти угол между прямой

и плоскостью Р: х + 2у + z - 4 = 0.

Решение.

Вектор  

Вектор  тогда

тогда

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ