ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Постановка задачи. Даны точка М0(х0 ,у0 ,z0 ) и вектор  (A,B, С). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо, перпендикулярно вектору .

М(х, у, z) - текущая точка плоскости. Точка М принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда вектор  то есть, когда скалярное произведение векторов

или в координатной форме

А(x-y0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Полученное уравнение является уравнением плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0 ) перпендикулярно вектору  (A,B,C).

Вектор  называется нормальным вектором плоскости. Если в последнем уравнении приведем подобные члены, то получим общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0.

Уравнение плоскости в отрезках: 

Используя условие компланарности трех векторов, можно записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельную векторам   и

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

Пример 25. Найти уравнение плоскости P1, проходящей через три точки  M1(1,0,4); М2(-2,1,3); М3(0,7,1) и уравнение плоскости Р2, проходящей через точку Мз, причем

Решение

Уравнение плоскости р1, проходящей через три точки, имеет вид:

Вычисляя определитель, получим 4(х - 1) - 8у - 20(z - 4) == 0;

x-2y-5z+ 19=0 - уравнение плоскости Р1.

Так как вектор  и ,  , то, используя уравнение плоскости, проходящей через точку М3 перпендикулярно вектору найдем уравнение плоскости Р2

-3(х-0) + 1(у-7) - 1(2-1) = О или 3х-у +z+6=0.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Различные виды уравнений прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

Пусть даны вектор (т ,п , р)и точка М0(х0 , у0 ,z0). Напишем уравнение прямой  l, проходящей через точку М0 параллельно вектору .

Возьмем на прямой l произвольную (текущую) точку М(х, у, z). Вектор коллинеарен вектору  (m, n,p), следовательно:

так как , то  или

Итак, уравнение  называется векторным уравнением прямой в пространстве.

Вектор  (m, n, р) называется направляющим вектором прямой в пространстве.

Запишем последнее уравнение в координатной форме; так как r (х, у, z); ro = (х0, у0, z0), то

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Если исключить параметр t в последних уравнениях, то получим каноническое уравнение прямой.

Пример 25. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей р1: 2x-y+z+3=0 и Р2: 3x+y-z+2=0

Решение

Проверим, что заданные плоскости не параллельны, то есть их нормальные векторы неколлинеарны.

Действительно, (2, -1, 1) и (3, 1, -1) - неколлинеарные векторы (их координаты не пропорциональны)

Прямая l, как линия пересечения р1 и Р2 будет перпендикулярна   и , поэтому направляющий вектор   прямой l равен:

Итак,  (0,5,5) Из общего уравнения прямой

найдем любую точку, принадлежащую данной прямой Пусть z = 0, тогда, решая систему

находим х=-1; y= 1 Итак, точка М(-1, 1, 0) принадлежит прямой l. Каноническое уравнение прямой имеет вид

параметрические уравнения заданной прямой имеют вид

2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве

Углом между двумя прямыми l1 и l2 называют любой из двух смежных углов,  образованных прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным.

Один из двух смежных углов между прямыми l1 и 12 равен углу между направляющими векторами  и , тогда

или

В частности, если  то  тогда m1m2+n1n2+p1p2=0, если  то  тогда:

2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве

Рассмотрим две прямые l1 и l2 , возможны три различных случая расположения этих прямых

1) прямые пересекаются,  следовательно, они лежат в одной плоскости Уравнения прямых

Векторы  и , - компланарны, тогда их смешанное произведение·, где =(x2-x1; y2-y1; z2-z1)и расстояние между прямыми d=0.

2) Прямые параллельны, тогда

Расстояние между прямыми d можно найти, используя определение векторного произведения.

Модуль векторного произведения  - это площадь параллелограмма, тогда высота d параллелограмма равна

3) Прямые скрещивающиеся, они не лежат в одной плоскости, тогда искомое  расстояние d определяется длиной общего перпендикуляра к этим прямым, то есть это расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через прямые l1 и l2.

 Очевидно, что нормальный вектор к плоскостям есть . Тогда скалярное произведение:

где в числителе стоит модуль смешанного произведения, или объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и , в знаменателе - модуль векторного произведения, то есть площадь параллелограмма, построенного на векторах  и . Расстояние d совпадает с высотой данного параллелепипеда.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ