ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Основной метод аналитической геометрии - метод координат. Его сущность: каждой точке М поставлены в соответствие пара или тройка чисел, называемых ее координатами. Каждой фигуре поставлено в соответствие уравнение F(x,у)=0 или F(x,у,z)=0. Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии:

1) по геометрическому свойству фигуры составить ее уравнение;

2) по уравнению исследовать свойства и форму геометрической фигуры.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Постановка задачи Даны точка Мо (x0 , y0) и вектор (A, В) Написать уравнение прямой l, перпендикулярной вектору  и проходящей через точку M0.

Точка M(x,y) - текущая точка прямой l.

 тогда и только тогда, когда

и (A, В) - ортогональны,

следовательно скалярное произведение

или А(x-x0)+B(y-y0)=0

Итак, получили уравнение прямой, проходящей через точку M0 и перпендикулярной .

Вектор  называется нормальным вектором прямой.

Последнее уравнение запишем в виде

Ax+By+D=0 - оно называется общим уравнением прямой.

Другие виды уравнений прямой на плоскости:

 - уравнение прямой, проходящей через точку М0 (х0 , у0) и параллельной вектору (m, n).

у =kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом к,

где k =tg,

 b - отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.

у - уо = k(x - хо)

 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М0(х0, у0)

- уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1 , y1) и M2(x2 ,y2).

 - уравнение прямой в отрезках.

Между всеми этими уравнениями существует связь, то есть, если задана прямая одним из уравнений, то можно перейти к любому из перечисленных видов.

Пример 23. Написать различные виды уравнений прямой, проходящей через две точки М1(2, 0); М2(0, 3).

Решение

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, находим

или  

Из последнего уравнения с помощью преобразований можно перейти к другим видам уравнений этой же прямой.

Уравнение прямой в отрезках: 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Общее уравнение прямой: Зх + 2у - 6 = 0, где вектор (3, 2) перпендикулярен данной прямой.

Пример 24. Найти уравнение стороны АВ и высоты, опущенной из вершины А в треугольнике АВС, где А(0, 1); В(-2. 3); С(0, 6).

Решение

Уравнение стороны АВ - это уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

 или 

Чтобы написать уравнение высоты из вершины А, найдем координаты вектора , который ей перпендикулярен:

Используя уравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору , находим уравнение высоты:

2(х-0)+3(у-1)=0 или 2х+3у-3=0.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ