ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Линейная алгебра и аналитическая геометрия

МАТРИЦЫ

Общие сведения о матрицах

Матрицей А размерности тп называется прямоугольная таблица чисел:

,

где т - число строк матрицы, п - число столбцов матрицы. Матрицу можно записывать в виде:

 или

где aij - элементы матрицы;

первый индекс i указывает номер строки,;

второй индекс j - номер столбца,.

Например,

 - матрица размерности 2х3;  - матрица-столбец;

 - матрица-строка.

Матрица называется квадратной, если т = п, число п называют ее порядком.

 - квадратная матрица третьего порядка.

Элементы aij составляют главную диагональ матрицы, а элементы a1n , a2n-1 ,… , an1 - вспомогательную, побочную диагональ матрицы.

Если все aij = 0 (ij), за исключением элементов, стоящих на главной диагонали аii, то матрицу называют диагональной, например:

Диагональная матрица называется единичной, если все aii = 1 , обозначают:

.

Если все aij = 0, то матрица называется нулевой, обозначают 0.

Нулевая и единичная матрицы выполняют в матричном исчислении такую же роль, как 0 и 1 в теории действительных чисел.

Две матрицы А и В называются равными, если они одной и той же размерности и их соответствующие элементы равны между собой.

А=В, если aij= bij .

Операции над матрицами

1) Суммой матриц А+В называют такую матрицу С, для которой cij=aij+bij.

Складывать можно матрицы одинаковой размерности. Операции сложения матриц обладают такими же свойствами, что и операции сложения действительных чисел:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

А+0=А

2) Произведением матрицы А на действительное число 

называют такую матрицу С = А, для которой cij=аij.

Из данного определения вытекают следующие свойства:

α βA= α(βA)

α (A+B)= α A+ α B

(α +β)A= α A + β B

где α, β - действительные числа;

А, В - матрицы.

Разность матриц А - В можно ввести как сумму А +(-1)В.

3) Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  элементы которой

; ,

то есть элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

В общем случае: АВ ВА.

Матрицы называются коммутативными, если АВ=ВА

Имеют место следующие свойства произведения матриц (проверьте самостоятельно):

(АВ)С=А(ВС),

(А+В)С=АС+ВС,

α АВ = (α А)В = А(α В),

 АЕ = ЕА = А, где Е - единичная матрица,

 А 0 = 0, где 0 - нулевая матрица.

 Если у матрицы А строки заменить соответствующими столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают AT.

Имеют место следующие свойства для AT (проверьте самостоятельно):

(AT)T=A

(A+B)T= AT+BT

(α A)T= α AT

(AB)T=BT AT

Пример 1. Найти: С = 2А - 3(В - А),

где

Решение.

С=2А-3(В-А)=2А-ЗВ+ЗА=5А-ЗВ.

Пример 2. Найти АВ,

 где .

Решение.

Упражнение. Найти А(В+2А), если

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Под определителем (детерминантом) понимают число, соответствующее квадратной матрице любого порядка и вычисленное по определенным правилам.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МНОЖЕСТВО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ

ЛИНЕЙНОЕ (ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Основной метод аналитической геометрии - метод координат. Его сущность: каждой точке М поставлены в соответствие пара или тройка чисел, называемых ее координатами. Каждой фигуре поставлено в соответствие уравнение F(x,у)=0 или F(x,у,z)=0. Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии:

1) по геометрическому свойству фигуры составить ее уравнение;

2) по уравнению исследовать свойства и форму геометрической фигуры.

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Постановка задачи. Даны точка М0(х0 ,у0 ,z0 ) и вектор  (A,B, С). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо, перпендикулярно вектору .

Угол между прямой и плоскостью Углом φ между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O, называется кривой второго порядка, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля

Парабола

КОНСПЕКТ-СХЕМЫ ОСНОВНЫХ ТЕМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ